Kedjeregeln
Med hjälp av kedjeregeln kan man derivera sammansatta funktioner.
Sammansatt funktion
Om y = f(x) och y = g(x) är två funktioner säger vi att y = f(g(x)) är en sammansatt funktion. '
Man kan tänka sig att f(g(x)) har uppkommit genom att man satt in g(x) i stället för x i f(x).
Några beteckningar
Df(g(x)) är det man får om man först ersätter x med g(x) i f(x) och sedan deriverar resultatet.
f´(g(x)) är det man får om man först deriverar f´(x) och sedan ersätter x med g(x) i f´(x).
Derivatan av en sammansatt funktion I
Kedjeregeln säger att
Df(g(x)) = f´(g(x))g´(x)
Derivatan av den sammansatta funktionen f(g(x)) kan man få så här:
1. Bilda derivatan f´(x) av f(x).
2. Sätt in g(x) i stället för x i f´(x). Vi har då bildat f´(g(x)).
3. Multiplicera nu med derivatan av det vi satte in, g´(x).
Vi har nu resultatet f´(g(x))g´(x).
Inre derivatan
g(x) kallas den inre funktionen. g´(x) som är derivatan av den inre funktionen kallas den inre derivatan.
När man deriverar f(g(x)) kan man tänka så här.
1. Derivera den yttre funktionen f.
2. Sätt in g(x) i resultatet.
3. Multiplicera sedan med den inre derivatan.
Exempel 1
Derivera e2x+3.
Vi följer punkt 1 - 3 ovan.
e2x+3 kan anses ha tillkommit genom att man satt in 2x+3 i stället för x i ex.
1. Derivatan av ex är ex.
2. Sätt in 2x + 3 i stället för x i ex. Vi har då bildat e2x+3.
3. Vi multiplicerar med derivatan av 2x + 3, vilket är 2.
Resultat: e2x+3$\cdot 2$ = 2e2x+3.
Derivatan av en sammansatt funktion II
Om z = f(y) och y = g(x) så gäller att z = f(g(x)).
Derivatan av f(g(x)) kan skrivas $\frac{dz}{dx}$. Om vi uppfattar detta som ett bråk kan vi förlänga med dy. Vi får
\[\frac{dz}{dx}=\frac{dz}{dy}\cdot \frac{dy}{dx}\]
Detta är ett annat sätt att formulera kedjeregeln.
Exempel 2
Derivera e2x+3.
Vi sätter z = ey och y = 2x + 3 . Vi får
\[z={{e}^{2x+3}}\]
och
\[\frac{dz}{dx}=\underbrace{\frac{dz}{dy}}_{{{e}^{y}}}\cdot \underbrace{\frac{dy}{dx}}_{\grave{\ }2}={{e}^{y}}\cdot 2=2{{e}^{2x+3}}\]
Exempel 3
Vi skall nu testa kedjeregeln på funktion, x6, som vi kan derivera direkt utan att användakedjeregeln. Vi vet ju att D x6= 6x5.
a) skriver x6 som den sammansatta funktionen ${{\left( {{x}^{3}} \right)}^{2}}$
När vi deriverar ${{\left( {{x}^{3}} \right)}^{2}}$ gör vi så här.
1. Derivera x2. Vi får 2x.
2. Sätt in x3. Vi får 2x3.
3. Multiplicera med inre derivatan, 3x2. Vi får 2x3 $\cdot $ 3x2 = 6x5.
Vi ser att kedjeregeln stämmer i detta fall.
Derivatan av ln x
Vi kan härleda derivatan av funktionen ln x om vi använder kedjeregeln och det faktum att
\[{{e}^{\ln x}}=x\]
Derivatan av vänsterledet är ju lika med derivatan av högerledet. Derivatan av högerledet är 1.
Alltså får vi
\[D{{e}^{\ln x}}=Dx=1\]
vilket ger:
\[\underbrace{{{e}^{\ln x}}}_{x}\cdot D\ln x=1\]
eller
\[x\cdot D\ln x=1\]
Vi har alltså visat att
\[D\ln x=\frac{1}{x}\]
Vi har här utgått ifrån att derivatan av ln x existerar. Vi har även utgått ifrån att x > 0.