Bråk
Definition av bråk. Härledning av räkneregler för bråk.
Inledande exempel
Bråkbegreppet brukar introduceras med exempel av denna typ.
7 personer delar på 2 tårtor så att varje person får lika stora portioner tårta.
Vi säger då att varje person får \(\dfrac{2}{7}\) av en tårta.
De sju portionerna blir sammanlagt 2 tårtor. Detta innebär att \(7\cdot \dfrac{2}{7}=2\)
Slutsats 1: \(\dfrac{2}{7}\) är det tal som multiplicerat med 7 ger resultatet 2.
Slutsats 2:\(x=\dfrac{2}{7}\) är lösningen till ekvationen 7x=2.
Ekvationen 7x=2 har exakt en lösning.
För att kunna förstå vad som menas med och kunna hantera bråk av allmännare typ, exempelvis \(\dfrac{1,23}{\sqrt{2}}\) och \(\dfrac{\frac{\dfrac{2,34+5}{3,25}}{{}}}{\sqrt{2}+3}\) behövs en mer allmän definition.
Definition av bråk
a och b är reella tal. b är inte 0 eller \(b\ne 0\). Då har ekvationen bx = a exakt en enda lösning eller som man också kan säga, en unik lösning.
Bråket \(\dfrac{a}{b}\) är det unika tal som multiplicerat med b ger resultatet a.
Vi har alltså inte definierat \(\dfrac{a}{b}\) om b = 0.
Vi kan också uttrycka detta så att \(\dfrac{a}{b}\) är den unika lösningen till ekvationen bx =a eller att
\(bx=a\Leftrightarrow x=\dfrac{a}{b}\)
Varför kan inte nämnaren vara 0?
Vår definition kräver att ett bråk \(\dfrac{a}{b}\), skall vara den enda lösningen till ekvationen bx = a
Vi skall därför undersöka ekvationen bx = a i det fall att b = 0.
Ekvationen 0x = a saknar lösning om \(a\ne 0\).
Ekvationen 0x =0 satisfieras av alla värden på x.
Vi ser att om b = 0, har inte ekvationen bx = a en unik lösning.
Vi ser att vår definition av bråk inte fungerar om b = 0. Man skulle då kunna tänka sig att hitta på en annan definition av \(\dfrac{a}{0}\), vilken vinner allmän acceptans, . Detta har ingen hittills gjort.
Täljare och nämnare
I bråket \(\dfrac{a}{b}\) kallas a täljare och b nämnare. Det vågräta strecket kallas bråkstreck.
För ett bråk gäller denna viktiga sanning: Produkten av bråket och dess nämnare är lika med dess täljare.
Några enkla konsekvenser av definitionen av bråk
\(\dfrac{a}{1}\)= a, ty \(1\cdot a=a\)
\(\dfrac{a}{a}\)= 1, ty a\(\cdot\)1 = a
\(\dfrac{1}{a}\cdot a=1\), ty \(\dfrac{1}{a}\) är ju det tal, som multiplicerat med a ger resultatet 1.
\(\dfrac{1}{\dfrac{1}{a}}=a\), ty \(\dfrac{1}{a}\cdot a=1\)
Förlängning av bråk
Vi skall jämföra bråken \(\dfrac{a}{b}\) och \(\dfrac{ca}{cb}\), där \(c\ne 0\).
Vi har enligt vår definition av bråk att
b\(\dfrac{a}{b}\)=a vilket ger att
cb\(\dfrac{a}{b}\)=ca.
Vi ser att \(\dfrac{a}{b}\) är en lösning till ekvationen
cbx = ca.
Men denna ekvation har den unika lösningen x = \(\dfrac{ca}{cb}\).
Alltså är
\(\dfrac{a}{b}\) = \(\dfrac{ca}{cb}\), om \(c\ne 0\).
Lägg märke till att vårt resonemang gäller för alla reela tal, a, b och c där\(c\ne 0\).
Enligt ovan gäller \(\frac{2}{7}\) = \(\frac{3\cdot 2}{3\cdot 7}\)=\(\frac{6}{21}\) . Vi säger att bråket \(\frac{6}{21}\) har bildats genom att bråket \(\frac{2}{7}\) har förlängts med 3.
Kommentar
Vi skulle i ovanstående exempel kunna ha resonerat så här.
Vi delar 2 tårtor i 7 lika stora delar. Sedan gör vi samma sak med två andra likadana tårtor och sedan samma sak igen med ytterligare 2 likadana tårtor. Vi har då delat 6 tårtor i 21 lika stora bitar. Varje bit är utgör såväl \(\dfrac{2}{7}\) av en tårta som \(\dfrac{6}{21}\) av en tårta.
Därför måste \(\dfrac{2}{7}\) = \(\dfrac{6}{21}\).
Med ett sådant resonemang kan man övertyga sig om att
\(\dfrac{a}{b}\) = \(\dfrac{ca}{cb}\) om a, b och c är positiva heltal.
Vi kan inte tillämpa tårtresonemanget när det gäller förlängning av exempelvis bråk av typen \(\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}\) eller \(\dfrac{2}{\dfrac{3}{7}}\).
Det är svårt att tänka sig att man delar \(\sqrt{3}\) tårtor i \(\sqrt{5}\) lika stora delar.
Förkortning av bråk
\(\dfrac{6}{21}\)= \(\dfrac{3\cdot 2}{3\cdot 7}\)=\(\dfrac{2}{7}\)
Vi säger att bråket \(\dfrac{2}{7}\) har bildats genom att bråket \(\dfrac{6}{21}\)har förkortats med 3.
Ett vanligt skrivsätt är
Multiplikation av bråk
Vi skall undersöka produkten \(\dfrac{a}{b}\)\(\cdot\)\(\dfrac{c}{d}\).
Vi har att
bd\(\dfrac{a}{b}\)\(\dfrac{c}{d}\) =(b\(\dfrac{a}{b}\))(d\(\dfrac{c}{d}\)) =ab, eftersom b\(\dfrac{a}{b}\)=a och d\(\dfrac{c}{d}\)=c enligt vår definition av bråk.
Vi ser att \(\dfrac{a}{b}\)\(\cdot\)\(\dfrac{c}{d}\) är det tal som multiplicerat med bd ger resultatet ab. Därför är \(\dfrac{a}{b}\)\(\cdot\)\(\dfrac{c}{d}\) = \(\dfrac{ac}{bd}\) enligt definitionen av bråk.
Några exempel på räkneregler förbråk
1. \(a\cdot \dfrac{b}{c}=\dfrac{a\cdot b}{c}\) eftersom \(c\cdot \left( a\cdot \dfrac{b}{c} \right)=a\cdot \left( c\cdot \dfrac{b}{c} \right)=ab\)
2.\(\dfrac{1}{b}\)\(\cdot a\)= \(\dfrac{a}{b}\) eftersom \(b\cdot \)\(\dfrac{1}{b}\)\(\cdot a=a\)
3. Om \(x\cdot y=1\) säger man att y är multiplikativ invers till x och vice versa. Man skriver
\(y={{x}^{-1}}\) och \(x={{y}^{-1}}\). Eftersom \(\dfrac{x}{y}\cdot \dfrac{y}{x}=\dfrac{xy}{yx}=1\) gäller att \({{\left( \dfrac{x}{y} \right)}^{-1}}=\dfrac{y}{x}\) .
\(\dfrac{y}{x}\) kallas det inverterade bråket till \(\dfrac{x}{y}\).
Division av bråk
\(\dfrac{\dfrac{a}{b}}{\dfrac{c}{d}}=\dfrac{a}{b}\cdot \dfrac{d}{c}\)
eftersom \(\dfrac{c}{d}\left( \dfrac{a}{b}\cdot \dfrac{d}{c} \right)=\dfrac{c}{d}\cdot \dfrac{d}{c}\cdot \dfrac{a}{b}=1\cdot \dfrac{a}{b}=\dfrac{a}{b}\)
Summan av bråk
Summan av bråk med samma nämnare
\(\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{c}=\dfrac{1}{c}\cdot a+\dfrac{1}{c}\cdot b=\dfrac{1}{c}\left( a+b \right)=\dfrac{a+b}{c}\).
Summan av bråk med olika nämnare
\(\dfrac{a}{b}\)+\(\dfrac{c}{d}\), där \(b\ne d\).
Vi förlänger ett eller båda bråken så att bråken får samma nämnare.
Man kan alltid göra så här.
Vi förlänger det första bråket med det andra bråkets nämnare och det andra bråket med det första bråkets nämnare. Vi får då
\(\dfrac{a}{b}\)+\(\dfrac{c}{d}\) = \(\dfrac{ad}{bd}\)+\(\dfrac{bc}{bd}\) = \(\dfrac{1}{bd}\)\(\cdot \)ad + \(\dfrac{1}{bd}\)\(\cdot \)bc.
Eftersomde båda bråken nu har samma nämnare kan vi kan nu bryta ut \(\dfrac{1}{bd}\).
\(\dfrac{1}{bd}\) \(\cdot \)ad + \(\dfrac{1}{bd}\) \(\cdot \)bc = \(\dfrac{1}{bd}\) \(\cdot \)(ad+bc) = \(\dfrac{ad+bc}{bd}\)