Logaritmer
10-logaritmer
Om b > 0, finns exakt en lösning till ekvationen 10x=b .
x kallas 10-logaritmen för b.
10-logaritmen för b skrivs lg b.
Vi har alltså att 10x=b⇔x=lgb
Detta innebär att
10lgb=b för alla x > 0
och
lg10x=x för alla x.
Exempel
Vi har att 100 = 102.
Detta innebär att 10-logaritmen för 100 är 2 eller lg 100 = 2
Exempel
Vad är lg 0,01?
Vi har att lg 0,01 = x ⇔10x=0,01
Problemet blir alltså att skriva 0,01 som $10x för något värde på x. Men 10−2=0,01. Alltså är lg 0,01 = -2.
Exempel
Bestäm lg√10.
Vi har att √10=1012.
Alltså är lg√10 = lg1012=12
1:ta logaritmlagen lgxy=lgx+lgy, x > 0, y > 0
Vi utgår ifrån denna potenslag, 10u⋅10v=10u+v för alla u och v.
Vi undersöker lgxy
Vi skriver x=10lgx och y=10lgy.
Vi får då lgxy=lg10lgx10lgy=lg10lgx+lgy=lgx+lgy
Vi har bevisat första logaritmlagen.
lgxy=lgx+lgy, x > 0, y > 0
2:ra logaritmlagen lgxy=lgx−lgy, x > 0, y > 0
Vi utgår från denna potenslag 10x10y=10x−y
Vi skriver x=10lgx och y=10lgy.
Vi får då lgxy=lg10lgx10lgy=lg10lgx−lgy=lgx−lgy.
Vi har bevisat andra logaritmlagen
lgxy=lgx−lgy, x > 0, y > 0
3:je logaritmlagen lgxy=ylgx, x > 0, alla y
Vi utgår från denna potenslag (10a)b=10ab
Vi skriver x=10lgx.
lgxy=lg(10lgx)y=lg10ylgx=ylgx
Vi har därmed bevisat 3:je logaritmlagen
lgxy=ylgx, x > 0, alla y
a-logaritmer
Låt a>0 och a≠1. y>0.
Definition
alogy (a-logaritmen för y) är den unika lösningen till ekvationen y=ax
Konsekvenser av denna definition är
1. alogy=x⇔ax=y
2. aalogy=y för alla y > 0, ty alogy är lösningen till ekvationen y=ax.
3. alogax=x för alla x, ty ax=ax för alla x.
Man kan på motsvarande stt som ovan bevisa logaritmlagarna
alogxy=alogx+alogy, x > 0, y > 0
alogxy=alogx−alogy, x > 0, y > 0
alogxy=yalogx, x > 0, alla y