Processing math: 100%

Logaritmer

10-logaritmer

Om b > 0, finns exakt en lösning till ekvationen 10x=b .
x kallas 10-logaritmen för b.
10-logaritmen för b skrivs lg b.

 

 

Vi har alltså att 10x=bx=lgb

Detta innebär att

10lgb=b för alla x > 0

och

lg10x=x för alla x.

Exempel

Vi har att 100 = 102.

Detta innebär att 10-logaritmen för 100 är 2 eller lg 100 = 2    

Exempel

Vad är lg 0,01?

Vi har att lg 0,01 = x 10x=0,01

Problemet blir alltså att skriva 0,01 som $10x för något värde på x. Men 102=0,01. Alltså är lg 0,01 = -2.

Exempel

Bestäm lg10.

Vi har att 10=1012.

Alltså är lg10 = lg1012=12

 

1:ta logaritmlagen lgxy=lgx+lgy, x > 0, y > 0

 

Vi utgår ifrån denna potenslag, 10u10v=10u+v för alla u och v.

Vi undersöker lgxy

Vi skriver x=10lgx och y=10lgy.

Vi får då lgxy=lg10lgx10lgy=lg10lgx+lgy=lgx+lgy

Vi har bevisat första logaritmlagen.

lgxy=lgx+lgy, x > 0, y > 0

 

2:ra logaritmlagen lgxy=lgxlgy, x > 0, y > 0

Vi utgår från denna potenslag 10x10y=10xy

Vi skriver x=10lgx och y=10lgy.

Vi får då lgxy=lg10lgx10lgy=lg10lgxlgy=lgxlgy.

Vi har bevisat andra logaritmlagen

lgxy=lgxlgy, x > 0, y > 0

 

3:je logaritmlagen lgxy=ylgx, x > 0, alla y

Vi utgår från denna potenslag (10a)b=10ab

Vi skriver x=10lgx.

lgxy=lg(10lgx)y=lg10ylgx=ylgx

Vi har därmed bevisat 3:je logaritmlagen

lgxy=ylgx, x > 0, alla y

a-logaritmer

Låt a>0 och a1. y>0.


Definition

alogy (a-logaritmen för y) är den unika lösningen till ekvationen y=ax

Konsekvenser av denna definition är

1. alogy=xax=y

2. aalogy=y för alla y > 0, ty alogy är lösningen till ekvationen y=ax.

3. alogax=x för alla x, ty ax=ax för alla x.

Man kan på motsvarande stt som ovan bevisa logaritmlagarna

alogxy=alogx+alogy, x > 0, y > 0

alogxy=alogxalogy, x > 0, y > 0

alogxy=yalogx, x > 0, alla y