Logaritmer

10-logaritmer

Om b > 0, finns exakt en lösning till ekvationen ${{10}^{x}= b}$ .
x kallas 10-logaritmen för b.
10-logaritmen för b skrivs lg b.

 

 

Vi har alltså att ${{10}^{x}}=b\Leftrightarrow x=\lg b$

Detta innebär att

${{10}^{\lg b}}=b$ för alla x > 0

och

$\lg {{10}^{x}}=x$ för alla x.

Exempel

Vi har att 100 = ${{10}^{2}}$.

Detta innebär att 10-logaritmen för 100 är 2 eller lg 100 = 2    

Exempel

Vad är lg 0,01?

Vi har att lg 0,01 = x $\Leftrightarrow {{10}^{x}}=0,01$

Problemet blir alltså att skriva 0,01 som $${{10}^{x}}$ för något värde på x. Men ${{10}^{-2}}=0,01$. Alltså är lg 0,01 = -2.

Exempel

Bestäm $\lg \sqrt{10}$.

Vi har att $\sqrt{10}={{10}^{\frac{1}{2}}}$.

Alltså är $\lg \sqrt{10}$ = $\lg {{10}^{\frac{1}{2}}}=\frac{1}{2}$

 

1:ta logaritmlagen $\lg xy=\lg x+\lg y$, x > 0, y > 0

 

Vi utgår ifrån denna potenslag, ${{10}^{u}}\cdot {{10}^{v}}={{10}^{u+v}}$ för alla u och v.

Vi undersöker $\lg xy$

Vi skriver $x={{10}^{\lg x}}$ och $y={{10}^{\lg y}}$.

Vi får då $\lg xy=\lg {{10}^{\lg x}}{{10}^{\lg y}}=\lg {{10}^{\lg x+\lg y}}=\lg x+\lg y$

Vi har bevisat första logaritmlagen.

$\lg xy=\lg x+\lg y$, x > 0, y > 0

 

2:ra logaritmlagen $\lg \frac{x}{y}=\lg x-\lg y$, x > 0, y > 0

Vi utgår från denna potenslag $\frac{{{10}^{x}}}{{{10}^{y}}}={{10}^{x-y}}$

Vi skriver $x={{10}^{\lg x}}$ och $y={{10}^{\lg y}}$.

Vi får då $\lg \frac{x}{y}=\lg \frac{{{10}^{\lg x}}}{{{10}^{\lg y}}}=\lg {{10}^{\lg x-\lg y}}=\lg x-\lg y$.

Vi har bevisat andra logaritmlagen

$\lg \frac{x}{y}=\lg x-\lg y$, x > 0, y > 0

 

3:je logaritmlagen $\lg {{x}^{y}}=y\lg x$, x > 0, alla y

Vi utgår från denna potenslag ${{\left( {{10}^{a}} \right)}^{b}}={{10}^{ab}}$

Vi skriver $x={{10}^{\lg x}}$.

$\lg {{x}^{y}}=\lg {{\left( {{10}^{\lg x}} \right)}^{y}}=\lg {{10}^{y\lg x}}=y\lg x$

Vi har därmed bevisat 3:je logaritmlagen

$\lg {{x}^{y}}=y\lg x$, x > 0, alla y

a-logaritmer

Låt $a>0$ och $a\ne 1$. $y>0$.

Definition

${}^{a}\log \,y$ (a-logaritmen för y) är den unika lösningen till ekvationen $y={{a}^{x}}$

Konsekvenser av denna definition är

1. ${}^{a}\log \,y=x\Leftrightarrow {{a}^{x}}=y$

2. ${{a}^{{}^{a}\log \,y}}=y$ för alla y > 0, ty ${}^{a}\log \,y$ är lösningen till ekvationen $y={{a}^{x}}$.

3. ${}^{a}\log \,{{a}^{x}}=x$ för alla x, ty ${{a}^{x}}={{a}^{x}}$ för alla x.

Man kan på motsvarande stt som ovan bevisa logaritmlagarna

${}^{a}\log xy={}^{a}\log x+{}^{a}\log y$, x > 0, y > 0

${}^{a}\log \frac{x}{y}={}^{a}\log x-{}^{a}\log y$, x > 0, y > 0

$^{a}\log {{x}^{y}}=y {}^{a}\log x$, x > 0, alla y

 

 

 

 

 

David Sjöstrand
YD Science & Arts
Knapegårdsvägen 1
439 93 Onsala
yd at ydsa.se