Derivatan av sin t och cos t
En kväll på hösten i början av 90-talet när jag som vanligt
gick till stallet för att ta hand om våra hästar tänkte jag på att grafer till
deriverbara funktioner är lokalt linjära. Om man zoomar in mot en punkt kommer
grafen så småningom att se ut som en rät linje. Denna linjes lutning är
derivatans värde i den punkt mot vilken man zoomar in. Det slog mig att om man
zoomar in mot en punkt på enhetscirkeln så kan man tänka sig några
sinsemellan likformiga rätvinkliga trianglar. Likformigheten borde ge oss de
berömda uttrycken för derivatan av sin t och cos t.
För att kunna säga någonting över
huvudtaget om cos t
och sin t måste man veta som menas med
cos t
och sin t.
Funktionerna cos t och sin t
definieras med hjälp av enhetscirkeln,
åtminstone i den svenska gymnasieskolan och i alla motsvarande skolor i hela
världen. Vi måste alltså utgå från enhetscirkeln, se figuren.
Cirkelbågen AP har
längden t. Punkten P har koordinaterna
(
x
,
y
)
=
(
cos
t
,
sin
t
)
.
Punkten U är en
punkt på den tangent, som tangerar enhetscirkeln i punkten P. Punkten S är vald så att triangeln PSU är rätvinklig.
Vi tänker oss, som vanligt, att värdet av t ändrar sig från t till t + dt , där dt är ett ”oändligt litet tal”. Vi skriver
t
→
t
+
d
t
. Detta leder till att
x→x+dx
MathType@MTEF@5@5@+=feaagyart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamiEaiabgkziUkaadIhacqGHRaWkcaWGKbGaamiEaaaa@3CA3@
och
y→y+dy
MathType@MTEF@5@5@+=feaagyart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamyEaiabgkziUkaadMhacqGHRaWkcaWGKbGaamyEaaaa@3CA6@
.
Derivatan av sin t
och cos t är
dy
dt
MathType@MTEF@5@5@+=feaagyart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaaSaaaeaacaWGKbGaamyEaaqaaiaadsgacaWG0baaaaaa@39CD@
respektive
dx
dt
MathType@MTEF@5@5@+=feaagyart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaaSaaaeaacaWGKbGaamiEaaqaaiaadsgacaWG0baaaaaa@39CC@
.
För att få reda på vad
d
x
d
t
MathType@MTEF@5@5@+=feaagyart1ev2aqaMfcvLHfij5gC1rhimfMBNvxyNvgaCzMCHn2EKHxF7rgD9bWexLMBbXgBcf2CPn2qVrwzqf2zLnharuavP1wzZbItLDhis9wBH5garmWu51MyVXgaruWqVvNCPvMCG4uz3bqee0evGueE0jxyaibaieYlNi=xH8yiVC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbbG8FasPYRqj0=yi0dXdbba9pGe9xq=JbbG8A8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciGacaGaaeqabaWaaeaaeaaakeaaqaaaaaaaaaWdbmaalaaapaqaa8qacaWGKbGaamiEaaWdaeaapeGaamizaiaadshaaaaaaa@46C7@
och
d
y
d
t
MathType@MTEF@5@5@+=feaagyart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaaSaaaeaacaWGKbGaamyEaaqaaiaadsgacaWG0baaaaaa@39CD@
är behöver vi lägga in punkten
Q:
(
x
+
d
x
,
y
+
d
y
)
=
(
cos
(
t
+
d
t
)
,
sin
(
t
+
d
t
)
)
MathType@MTEF@5@5@+=feaagyart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaaeWaaeaacaWG4bGaey4kaSIaamizaiaadIhacaGGSaGaamyEaiabgUcaRiaadsgacaWG5baacaGLOaGaayzkaaGaeyypa0ZaaeWaaeaaciGGJbGaai4BaiaacohadaqadaqaaiaadshacqGHRaWkcaWGKbGaamiDaaGaayjkaiaawMcaaiaacYcaciGGZbGaaiyAaiaac6gadaqadaqaaiaadshacqGHRaWkcaWGKbGaamiDaaGaayjkaiaawMcaaaGaayjkaiaawMcaaaaa@532F@
i figuren ovan. Eftersom punkterna
P och
Q ligger ”oändligt” nära varandra skulle de sammanfalla i denna
figur. För att vi skall kunna se punkterna
P och
Q åtskilda behöver vi zooma in mot
punkten
P. Om vi zoomar in ”oändligt”
mycket mot punkten
P, får vi denna
figur.
Lägg märke till att det, som tycks vara en rät linje genom P och Q, är både en cirkelbåge och den tangent, som tangerar cirkeln i
punkten P. Det här sättet att
resonera är egentligen mycket diskutabelt. En engelsk biskop kritiserade en av upphovsmännen
till derivatabegreppet, Isaac Newton, för att resonera felaktigt när han resonerade på detta sätt. Newton
tog inte kritiken så hårt för han insåg att hans teori skulle göra det möjligt att öka
mänskighetens förståelse för universum.
Lägg märke till att sträckan PR har längden
−
d
x
MathType@MTEF@5@5@+=feaagyart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaeyOeI0IaamizaiaadIhaaaa@38C7@
. Detta beror på att längden av sträckan PR är
skillnaden mellan x-koordinaten för sträckans högra ändpunkt, x,
och x-koordinaten för sträckans vänstra ändpunkt, x + dx.
Längden av PR är därför x - (x + dx) = - dx
Det tre röda trianglarna i ovanstående figurer är
sinsemellan likformiga. Trianglarna QRP och PSU är likformiga, liksom trianglarna PSU och OBP . Alltså är trianglarna QRP och OBP likformiga. Detta ger oss
d
y
d
t
=
O
B
O
P
=
cos
t
1
=
cos
t
MathType@MTEF@5@5@+=feaagyart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaaSaaaeaacaWGKbGaamyEaaqaaiaadsgacaWG0baaaiabg2da9maalaaabaGaam4taiaadkeaaeaacaWGpbGaamiuaaaacqGH9aqpdaWcaaqaaiGacogacaGGVbGaai4CaiaadshaaeaacaaIXaaaaiabg2da9iGacogacaGGVbGaai4Caiaadshaaaa@4896@
och
−
d
x
d
t
=
B
P
O
P
=
sin
t
1
=
sin
t
⇔
d
x
d
t
=
−
sin
t
MathType@MTEF@5@5@+=feaagyart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaaSaaaeaacqGHsislcaWGKbGaamiEaaqaaiaadsgacaWG0baaaiabg2da9maalaaabaGaamOqaiaadcfaaeaacaWGpbGaamiuaaaacqGH9aqpdaWcaaqaaiGacohacaGGPbGaaiOBaiaadshaaeaacaaIXaaaaiabg2da9iGacohacaGGPbGaaiOBaiaadshacqGHuhY2daWcaaqaaiaadsgacaWG4baabaGaamizaiaadshaaaGaeyypa0JaeyOeI0Iaci4CaiaacMgacaGGUbGaamiDaaaa@5585@
Slutsats
D
sin
x
=
cos
x
MathType@MTEF@5@5@+=feaagyart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamiraiGacohacaGGPbGaaiOBaiaadIhacqGH9aqpciGGJbGaai4BaiaacohacaWG4baaaa@3F68@
D
cos
x
=
−
sin
x
MathType@MTEF@5@5@+=feaagyart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamiraiGacogacaGGVbGaai4CaiaadIhacqGH9aqpcqGHsislciGGZbGaaiyAaiaac6gacaWG4baaaa@4055@
Obs1
I ovanstående bevis har jag använt ordet ”oändligt” flera
gånger. Den kritiske läsaren undrar med rätta vad som menas med ett ”oändligt”
litet tal. Man skulle kunna säga att jag har låtit talen dt, dx och dy vara 0 och skilda från 0 alltefter som
det passat mig. Detta är inte tillåtet i ett bevis som uppfyller höga krav på
matematisk stringens, men jag är i gott sällskap av Isaac Newton m.fl.
Obs2
Ovanstående resonemang bygger på att punkten P ligger i 1:ta kvadranten. Man kan lätt modifiera det så
att det stämmer om P ligger i någon
av de andra kvadranterna.