Hem

Matematik med Excel

Förord

Kapitel 2

Kapitel 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

MathType till lägsta pris.

MathType is a powerful interactive equation editor for Windows and Macintosh that lets you create mathematical notation for word processing, web pages, desktop publishing, presentations, elearning, and for TeX, LaTeX, and MathML documents.

Autograph, tredje generationens grafritare för skolor och universitet.

Derivator, integraler, analytisk geometri, statistik och sannolikhetslära

Nu med svenskt gränssnitt.

FX Draw, ett lättanvänt och kraftfullt ritprogram för matematiklärare och elever.

FX Graph, ett suveränt lättanvänt grafritarprogram.

Gratis läromedel i religion, 49 arbetsområden i Religion A samt En Historia om Kristendomen

2 Formler

Vi skall se hur man beräknar värdet av ett uttryck med Excel.

Exempel 1 Beräkna värdet av ett uttryck

Beräkna värdet av x 2 −2 MathType@MTEF@5@5@+=feaagyart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamiEamaaCaaaleqabaGaaGOmaaaakiabgkHiTiaaikdaaaa@397C@  för x = 1, 2 och 3.

1. Skriv först in 1 i cell A2.

2. Skriv in formeln =A2^2-2 i cell B2.

(Observera  = - tecknet ovan. En formel inleds alltid med  =. Vad händer om likhetstecknet utelämnas? Prova!)

Formeln =A2^2-2 refererar till en cell, A2. Man säger därför att den innehåller en cellreferens.

Du ser nu att det står -1 i cell B2. Det betyder att x 2 −2 MathType@MTEF@5@5@+=feaagyart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamiEamaaCaaaleqabaGaaGOmaaaakiabgkHiTiaaikdaaaa@397C@  = -1, då x = 1.  

3. Skriv sedan in 2 i cell A2 och tryck Enter. Resultatet blir 2, vilket alltså betyder att värdet av x 2 −2 MathType@MTEF@5@5@+=feaagyart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamiEamaaCaaaleqabaGaaGOmaaaakiabgkHiTiaaikdaaaa@397C@  är 2 då x = 2. Fortsätt därefter med x = 3. Man finner att x 2 −2 MathType@MTEF@5@5@+=feaagyart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamiEamaaCaaaleqabaGaaGOmaaaakiabgkHiTiaaikdaaaa@397C@  = 7 då x = 3.

4.   Kalkylbladet kan nu förses med rubriker genom att skriva i x i cell A1 och x^2-2 (Obs! inget = - tecken) i cell B1.

I detta exempel har vi sett att man i en cell kan skriva in antingen en formel, vars värde kan beräknas, eller vilken text som helst. En formel måste alltid börja med ett likhetstecken.

 

 

Exempel 2 Hur man på ett enkelt sätt skapar lite mer komplicerade formler

Beräkna värdet av x 2 + y 2 MathType@MTEF@5@5@+=feaagyart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqiFCI8FfYJH8sipiYdHaVhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfea0=yr0RYxir=Jbba9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciGacaGaaeqabaWaaeaaeaaakeaadaGcaaqaaiaadIhadaahaaWcbeqaaiaaikdaaaGccqGHRaWkcaWG5bWaaWbaaSqabeaacaaIYaaaaaqabaaaaa@3963@  för x = 5 och y = 12 samt för x = 41055 och y = 70928.

1. Skriv in 5 och 12 i cellerna A2 resp B2.

2. Man kan nu lägga in formeln =ROT(A2^2+B2^2) i cell C2 genom att antingen skriva in den eller genom att

a) placera cellmarkören i cell C2

b) skriva =ROT(

c) flytta cellmarkören till cell A2

d) skriva ^2+

e) flytta cellmarkören till cell B2

f) skriva ^2)

g) trycka Enter.

3. Förse kalkylbladet med rubriker.

4. Ändra innehållet i cellerna A2 och B2 genom att skriva in 41055 resp. 70928.

Funktionen ROT är en av många matematiska funktioner i Excel.

Exempel 3 Ett kalkylblad med flera formler

Heltalen 3, 4 och 5 sägs vara en Pytagoreisk taltrippel eftersom

3 2 + 4 2 = 5 2 MathType@MTEF@5@5@+=feaagyart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaaG4mamaaCaaaleqabaGaaGOmaaaakiabgUcaRiaaisdadaahaaWcbeqaaiaaikdaaaGccqGH9aqpcaaI1aWaaWbaaSqabeaacaaIYaaaaaaa@3CD5@ . Tre heltal x, y och z är en Pytagoreisk taltrippel om

x 2 + y 2 = z 2 MathType@MTEF@5@5@+=feaagyart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamiEamaaCaaaleqabaGaaGOmaaaakiabgUcaRiaadMhadaahaaWcbeqaaiaaikdaaaGccqGH9aqpcaWG6bWaaWbaaSqabeaacaaIYaaaaaaa@3D95@

Man kan genom att bevisa formeln

( a 2 − b 2 ) 2 + ( 2ab ) 2 = ( a 2 + b 2 ) 2 MathType@MTEF@5@5@+=feaagyart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaaeWaaeaacaWGHbWaaWbaaSqabeaacaaIYaaaaOGaeyOeI0IaamOyamaaCaaaleqabaGaaGOmaaaaaOGaayjkaiaawMcaamaaCaaaleqabaGaaGOmaaaakiabgUcaRmaabmaabaGaaGOmaiaadggacaWGIbaacaGLOaGaayzkaaWaaWbaaSqabeaacaaIYaaaaOGaeyypa0ZaaeWaaeaacaWGHbWaaWbaaSqabeaacaaIYaaaaOGaey4kaSIaamOyamaaCaaaleqabaGaaGOmaaaaaOGaayjkaiaawMcaamaaCaaaleqabaGaaGOmaaaaaaa@4AF3@

förstå att man kan erhålla Pytagoreiska taltrippler genom att bilda talen x= a 2 − b 2 MathType@MTEF@5@5@+=feaagyart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamiEaiabg2da9iaadggadaahaaWcbeqaaiaaikdaaaGccqGHsislcaWGIbWaaWbaaSqabeaacaaIYaaaaaaa@3C7C@ , y = 2ab och z= a 2 + b 2 MathType@MTEF@5@5@+=feaagyart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOEaiabg2da9iaadggadaahaaWcbeqaaiaaikdaaaGccqGHRaWkcaWGIbWaaWbaaSqabeaacaaIYaaaaaaa@3C73@  för olika heltal a och b.

Gör ett kalkylblad med vilket man kan beräkna x= a 2 − b 2 MathType@MTEF@5@5@+=feaagyart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamiEaiabg2da9iaadggadaahaaWcbeqaaiaaikdaaaGccqGHsislcaWGIbWaaWbaaSqabeaacaaIYaaaaaaa@3C7C@ , y = 2ab 0ch z= a 2 + b 2 MathType@MTEF@5@5@+=feaagyart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOEaiabg2da9iaadggadaahaaWcbeqaaiaaikdaaaGccqGHRaWkcaWGIbWaaWbaaSqabeaacaaIYaaaaaaa@3C73@  och för olika heltal a och b.

1. Skriv in 2 och 1 i cell A1 resp. B1.

2. Lägg in formeln =A1^2-B1^2 i cell C1.

3. Lägg in formeln =2*A1*B1 i cell D1.

4. Lägg in formeln =A1^2+B1^2 i cell E1.

(För att kontrollera att det är Pytagoreiska taltrippler man erhåller kan man lägga in formeln =ROT(C1^2+D1^2) i cell F1. Innehållet i E1 och F1 är alltid detsamma. ROT är en funktione, som finns i Excels funktionsbibliotek.)

5. Flytta innehållet i området A1 : F1 till området A2 : F2 genom att

a) markera området A1 : F1

b) ge kommandot Redigera Klipp ut.

c) flytta cellmarkören till cell A2

d) tryck Enter.

6. Förse kalkylbladet med rubriker.

7. Låt a = 248 och b = 143. Man erhåller då den Pytagoreiska taltrip­peln 41055, 70928 och 81953. (Jämför det resultat du fick i Exempel 2.)

 

 

Exempel 4 Användning av variabler

Man kan använda variebler på vanligt sätt i stället för cellreferenser.

Arean, T, av en triangel med sidlängderna  x, y och z  kan beräk­nas med formeln (denna formel kallas Herons formel):

T= p(p−x)(p−y)(p−z) ,

där

p= x+y+z 2 MathType@MTEF@5@5@+=feaagyart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamiCaiabg2da9maalaaabaGaamiEaiabgUcaRiaadMhacqGHRaWkcaWG6baabaGaaGOmaaaaaaa@3D69@

är hälften av triangelns omkrets.

Gör ett kalkylblad med vars hjälp man kan beräkna arean av en triangel med givna sidlängder.

Vi har hittills i detta exempel använt oss av cellreferenser när vi skrivit formler. Vi skall nu istället använda oss av variabelnamn.

1. Skriv in x, y, z, p och area i cellerna A3, B3 ..... E3.

2. Skriv in 3, 4 och 5 i cellerna A4, B4 och C4.

3. Markera området A3 : D4.

4. Ge kommandot Infoga Namn Skapa. Namnen skall skapas från text i översta raden. ( Snabbkommando: Ctrl+ Shift+ F3)

5. Skriv in formeln =(x+y+z)/2 i cell D4.

6. Skriv in formeln =ROT(p*(p-x)*(p-y)*(p-z)) i cell E4.

Lägg märke till att * -tecknet inte kan utelämnas.

Resultat: x = 3, y = 4 och z = 5 ger arean 6. x = 41055, y = 70928 och    z = 81953 ger arean 1455974520

Varför erhålls ingen area för vissa värden på x, y och z, t.ex. x = 4,  y = 1 och z = 2?

I Excel finns ett stort antal funktioner.

Exempel 5 Funktioner från Excels funktionsbibliotek

Gör ett kalkylblad med vilket man kan bestämma v, där cos v° = a och 0 £ v £ 180 för olika värden på a.

1. Skriv in 0,5 i cell A2.

2.  Lägg in formeln =180/PI()*ARCCOS(A2) i cell B2 genom att

a) skriva in =180/

b) ge kommandot Infoga Funktion

c) leta  upp PI

d) följa instruktionerna i Funktionsguiden

e) skriva in *

f) ge kommandot Infoga Funktion.

g) leta upp ARCCOS.

h) skriva in A2 vid Tal i Funktionsguiden.

i) trycka Enter.

Exempel 6   Egendefinierade funktioner

Gör ett kalkylblad med vilket man kan beräkna ett närmevärde till f ′ (a) MathType@MTEF@5@5@+=feaagyart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeWaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGabmOzayaafaGaaiikaiaadggacaGGPaaaaa@391B@  och f ″ (a) MathType@MTEF@5@5@+=feaagyart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeWaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGabmOzayaagaGaaiikaiaadggacaGGPaaaaa@391C@  för olika värden på a samt för olika funktioner f.

Vi använder approximationerna f ′ (a)≈ MathType@MTEF@5@5@+=feaagyart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGabmOzayaafaGaaiikaiaadggacaGGPaGaeyisISlaaa@3ACB@ f(a+h)−f(a−h) 2h MathType@MTEF@5@5@+=feaagyart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaaSaaaeaacaWGMbGaaiikaiaadggacqGHRaWkcaWGObGaaiykaiabgkHiTiaadAgacaGGOaGaamyyaiabgkHiTiaadIgacaGGPaaabaGaaGOmaiaadIgaaaaaaa@4286@  samt

f ″ (a)≈ f ′ (a+h)− f ′ (a−h) 2h ≈ f(a+h)+f(a−h)−2f(a) 4 h 2 MathType@MTEF@5@5@+=feaagyart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGabmOzayaagaGaaiikaiaadggacaGGPaGaeyisIS7aaSaaaeaaceWGMbGbauaacaGGOaGaamyyaiabgUcaRiaadIgacaGGPaGaeyOeI0IabmOzayaafaGaaiikaiaadggacqGHsislcaWGObGaaiykaaqaaiaaikdacaWGObaaaiabgIKi7oaalaaabaGaamOzaiaacIcacaWGHbGaey4kaSIaamiAaiaacMcacqGHRaWkcaWGMbGaaiikaiaadggacqGHsislcaWGObGaaiykaiabgkHiTiaaikdacaWGMbGaaiikaiaadggacaGGPaaabaGaaGinaiaadIgadaahaaWcbeqaaiaaikdaaaaaaaaa@5B8E@ ,

där h är ett litet tal.

1. Vi skall nu se hur man kan skapa egendefinierade funktioner i Excel.

a) Öppna Visual Basic Editor genom att välja Verktyg Makro Visual Basic Editor

b) Välj sedan Infoga Modul.

c) Skriv in följande

Function f(x)

    f = x ^ 3

End Function

Vi har nu skapat den egendefinierade eller anpassade funktionen f(x)= x 3 MathType@MTEF@5@5@+=feaagyart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOzaiaacIcacaWG4bGaaiykaiabg2da9iaadIhadaahaaWcbeqaaiaaiodaaaaaaa@3C12@

d) Gå tillbaka till kalkylbladet och skriv =f(2) i någon cell. Excel ger värdet 8( = 2 3 ) MathType@MTEF@5@5@+=feaagyart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaaGioamaabmaabaGaeyypa0JaaGOmamaaCaaaleqabaGaaG4maaaaaOGaayjkaiaawMcaaaaa@3AE5@ .

e) Gå tillbaka till Modul 1 och ändra definitionen i andra raden exempelvis till

    f = x ^ 2

Om man nu går tillbaka till kalkylbladet och trycker F9-tangenten beräknas formeln  =f(2) igen och vi får värdet 4( = 2 2 ) MathType@MTEF@5@5@+=feaagyart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaaGinamaabmaabaGaeyypa0JaaGOmamaaCaaaleqabaGaaGOmaaaaaOGaayjkaiaawMcaaaaa@3AE0@ .

2. a) Skriv in

a) a och h i cell A1 respektive B1 samt 2 respektive 0,0001 i cell A2 respektive B2. Definiera variablerna a och h med Ctrl+ Shift+ F3.

b) (f(a+h)-f(a-h))/(2*h) och (f(a - 2*h) + f(a + 2*h) - 2*f(a))/(4*h^2) cell A5 respektive C5. Skriv sedan in formlerna =(f(a+h)-f(a-h))/(2*h) och =(f(a - 2*h) + f(a + 2*h) - 2*f(a))/(4*h^2) i cellerna A6 och C6.

Man har nu närmevärden till f ′ (2) MathType@MTEF@5@5@+=feaagyart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGabmOzayaafaGaaiikaiaaikdacaGGPaaaaa@38F0@  och f ″ (2) MathType@MTEF@5@5@+=feaagyart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGabmOzayaagaGaaiikaiaaikdacaGGPaaaaa@38F1@  i cellerna A6 respektive C6.

Man kan nu gå till Modul 1 och ändra definitionen av f.

Function f(x)

     f = Exp(x)

End Function

Om man låter a = 1 finner man att då att f ′ (1)≈ MathType@MTEF@5@5@+=feaagyart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGabmOzayaafaGaaiikaiaaigdacaGGPaGaeyisISlaaa@3AA0@  2,718282 och f ″ (1)≈ MathType@MTEF@5@5@+=feaagyart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGabmOzayaagaGaaiikaiaaigdacaGGPaGaeyisISlaaa@3AA1@  2,718281

 

 

Övningsuppgifter

1. Bilda ett kalkylblad med vars hjälp man kan beräkna

a)   2 2x + 2 x+1 +1 MathType@MTEF@5@5@+=feaagyart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaaGOmamaaCaaaleqabaGaaGOmaiaadIhaaaGccqGHRaWkcaaIYaWaaWbaaSqabeaacaWG4bGaey4kaSIaaGymaaaakiabgUcaRiaaigdaaaa@3E9B@  och ( 2 x +1 ) 2 MathType@MTEF@5@5@+=feaagyart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaaeWaaeaacaaIYaWaaWbaaSqabeaacaWG4baaaOGaey4kaSIaaGymaaGaayjkaiaawMcaamaaCaaaleqabaGaaGOmaaaaaaa@3BE2@  för olika värden på x. Vilken slutsats kan man dra beträffande dessa båda uttryck? Kan du bevisa din slutsats algebraiskt?

b) Beräkna ( 1+ 1 x ) x MathType@MTEF@5@5@+=feaagyart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaaeWaaeaacaaIXaGaey4kaSYaaSaaaeaacaaIXaaabaGaamiEaaaaaiaawIcacaGLPaaadaahaaWcbeqaaiaadIhaaaaaaa@3BFB@  för olika värden på x. Vilket värde tycks detta uttryck närma sig då x antar allt större värden?

c) Undersök lim x→∞ ( 1+ a x ) x MathType@MTEF@5@5@+=feaagyart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaaCbeaeaaciGGSbGaaiyAaiaac2gaaSqaaiaadIhacqGHsgIRcqGHEisPaeqaaOWaaeWaaeaacaaIXaGaey4kaSYaaSaaaeaacaWGHbaabaGaamiEaaaaaiaawIcacaGLPaaadaahaaWcbeqaaiaadIhaaaaaaa@4395@ .

2. Man kan visa att 

( n 3 +1 ) 3 + ( n 4 −2n ) 3 + ( 2 n 3 −1 ) 3 = ( n 4 +n ) 3 MathType@MTEF@5@5@+=feaagyart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaaeWaaeaacaWGUbWaaWbaaSqabeaacaaIZaaaaOGaey4kaSIaaGymaaGaayjkaiaawMcaamaaCaaaleqabaGaaG4maaaakiabgUcaRmaabmaabaGaamOBamaaCaaaleqabaGaaGinaaaakiabgkHiTiaaikdacaWGUbaacaGLOaGaayzkaaWaaWbaaSqabeaacaaIZaaaaOGaey4kaSYaaeWaaeaacaaIYaGaamOBamaaCaaaleqabaGaaG4maaaakiabgkHiTiaaigdaaiaawIcacaGLPaaadaahaaWcbeqaaiaaiodaaaGccqGH9aqpdaqadaqaaiaad6gadaahaaWcbeqaaiaaisdaaaGccqGHRaWkcaWGUbaacaGLOaGaayzkaaWaaWbaaSqabeaacaaIZaaaaaaa@52A7@

för alla n. Man kan antingen visa att likheten gäller, för hand eller, vilket kan vara bekvämt, använda  ett datoralgebraiskt system, t.ex. DERIVE.

a) Gör ett kalkylblad med vilket man kan beräkna n 3 +1 MathType@MTEF@5@5@+=feaagyart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOBamaaCaaaleqabaGaaG4maaaakiabgUcaRiaaigdaaaa@3967@ , n 4 −2n MathType@MTEF@5@5@+=feaagyart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOBamaaCaaaleqabaGaaGinaaaakiabgkHiTiaaikdacaWGUbaaaa@3A67@ , 2 n 3 −1 MathType@MTEF@5@5@+=feaagyart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaaGOmaiaad6gadaahaaWcbeqaaiaaiodaaaGccqGHsislcaaIXaaaaa@3A2E@  samt n 4 +n MathType@MTEF@5@5@+=feaagyart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOBamaaCaaaleqabaGaaGinaaaakiabgUcaRiaad6gaaaa@39A0@  för olika värden på n. Bestäm därefter några positiva heltal x, y, z och t sådana att x 3 + y 3 + z 3 = t 3 MathType@MTEF@5@5@+=feaagyart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamiEamaaCaaaleqabaGaaG4maaaakiabgUcaRiaadMhadaahaaWcbeqaaiaaiodaaaGccqGHRaWkcaWG6bWaaWbaaSqabeaacaaIZaaaaOGaeyypa0JaamiDamaaCaaaleqabaGaaG4maaaaaaa@4066@ .

b) Verifiera att de funna värdena på x, y och z satisfierar ekvationen                 

x 3 + y 3 + z 3 = t 3 MathType@MTEF@5@5@+=feaagyart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamiEamaaCaaaleqabaGaaG4maaaakiabgUcaRiaadMhadaahaaWcbeqaaiaaiodaaaGccqGHRaWkcaWG6bWaaWbaaSqabeaacaaIZaaaaOGaeyypa0JaamiDamaaCaaaleqabaGaaG4maaaaaaa@4066@ .

Resultat: n = 3 ger x = 28, y = 75, z = 53 och t = 84

n = 53 ger x = 148878, y = 7890375, z = 297753 och t = 789­0534

3. Gör ett kalkylblad med vilket man kan beräkna vinklarna i en triangel med givna sidor. (Använd cosinussatsen.)

4. Gör ett kalkylblad med vilket man kan beräkna rötterna till en andragradsekvation med reella rötter. (Jfr. Kapitel 8.)

5. En triangel är inlagd i ett koordinatsystem. Hörnen ligger i punkerna       (x1, y1), (x2, y2) och (x3, y3). Den mot punkten (xi, yi) stående sidan  har längden li, i = 1, 2 3.

Det gäller att

l3= ( x1−x2 ) 2 + ( y1−y2 ) 2 MathType@MTEF@5@5@+=feaagyart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamiBaiaaiodacqGH9aqpdaGcaaqaamaabmaabaGaamiEaiaaigdacqGHsislcaWG4bGaaGOmaaGaayjkaiaawMcaamaaCaaaleqabaGaaGOmaaaakiabgUcaRmaabmaabaGaamyEaiaaigdacqGHsislcaWG5bGaaGOmaaGaayjkaiaawMcaamaaCaaaleqabaGaaGOmaaaaaeqaaaaa@4736@

l2= ( x1−x3 ) 2 + ( y1−y3 ) 2 MathType@MTEF@5@5@+=feaagyart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamiBaiaaikdacqGH9aqpdaGcaaqaamaabmaabaGaamiEaiaaigdacqGHsislcaWG4bGaaG4maaGaayjkaiaawMcaamaaCaaaleqabaGaaGOmaaaakiabgUcaRmaabmaabaGaamyEaiaaigdacqGHsislcaWG5bGaaG4maaGaayjkaiaawMcaamaaCaaaleqabaGaaGOmaaaaaeqaaaaa@4737@

l1= ( x2−x3 ) 2 + ( y2−y3 ) 2 MathType@MTEF@5@5@+=feaagyart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamiBaiaaigdacqGH9aqpdaGcaaqaamaabmaabaGaamiEaiaaikdacqGHsislcaWG4bGaaG4maaGaayjkaiaawMcaamaaCaaaleqabaGaaGOmaaaakiabgUcaRmaabmaabaGaamyEaiaaikdacqGHsislcaWG5bGaaG4maaGaayjkaiaawMcaamaaCaaaleqabaGaaGOmaaaaaeqaaaaa@4738@

samt att koordinaterna (xm, ym)  för medelpunkten till triangeln inskrivna cirkelns  medelpunkt ges av formlerna

xm= l1x1+l2x2+l3x3 l1+l2+l3 MathType@MTEF@5@5@+=feaagyart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamiEaiaad2gacqGH9aqpdaWcaaqaaiaadYgacaaIXaGaamiEaiaaigdacqGHRaWkcaWGSbGaaGOmaiaadIhacaaIYaGaey4kaSIaamiBaiaaiodacaWG4bGaaG4maaqaaiaadYgacaaIXaGaey4kaSIaamiBaiaaikdacqGHRaWkcaWGSbGaaG4maaaaaaa@4BA9@ MathType@MTEF@5@5@+=feaagyart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcaa@35E3@

ym= l1y1+l2y2+l3y3 l1+l2+l3 MathType@MTEF@5@5@+=feaagyart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamyEaiaad2gacqGH9aqpdaWcaaqaaiaadYgacaaIXaGaamyEaiaaigdacqGHRaWkcaWGSbGaaGOmaiaadMhacaaIYaGaey4kaSIaamiBaiaaiodacaWG5bGaaG4maaqaaiaadYgacaaIXaGaey4kaSIaamiBaiaaikdacqGHRaWkcaWGSbGaaG4maaaaaaa@4BAD@

a) Gör ett kalkylblad med vars hjälp man kan beräkna koordinaterna (xm ym) för medelpunkten till den inskrivna cirkeln till en triangel med givna hörn. Eftersom l1, l2 och l3 är namn på celler i kalkylbladet kan man inte använda dessa som variabelnamn. Använd istället variabelnamnen l_1, l_2 och l_3.

Man kan även visa att för den inskrivna cirkelns radie, r, gäller formeln

r= T p MathType@MTEF@5@5@+=feaagyart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOCaiabg2da9maalaaabaGaamivaaqaaiaadchaaaaaaa@39BE@

där T är triangelns area och p är hälften av triangelns omkrets.

b) Gör så att man med kalkylbladet, som gjorts i a) även kan beräkna r.

c)  Spara kalkylarket. Det skall användas för att plotta den inskrivna cirkeln till en given triangel.

Resultat: För en triangel med hörnen (2, 3), (1, 1) och (4, -1) gäller att

r » 0,775663164  samt att (xm, ym) »  (2, 1,26556443708).

6. Gör ett kalkylblad med vilket du kan beräkna b−dy cy−a MathType@MTEF@5@5@+=feaagyart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqiFCI8FfYJH8sipiYdHaVhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfea0=yr0RYxir=Jbba9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciGacaGaaeqabaWaaeaaeaaakeaadaWcaaqaaiaadkgacqGHsislcaWGKbGaamyEaaqaaiaadogacaWG5bGaeyOeI0Iaamyyaaaaaaa@3C1F@ , där y= ax+b cx+d MathType@MTEF@5@5@+=feaagyart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqiFCI8FfYJH8sipiYdHaVhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfea0=yr0RYxir=Jbba9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciGacaGaaeqabaWaaeaaeaaakeaacaWG5bGaeyypa0ZaaSaaaeaacaWGHbGaamiEaiabgUcaRiaadkgaaeaacaWGJbGaamiEaiabgUcaRiaadsgaaaaaaa@3E0B@ , för olika värden på x. Värdena på a, b, c och d skall kunna varieras.

Kan du föklara resultatet?

(Ledning: Lös ekvationen y= ax+b cx+d MathType@MTEF@5@5@+=feaagyart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqiFCI8FfYJH8sipiYdHaVhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfea0=yr0RYxir=Jbba9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciGacaGaaeqabaWaaeaaeaaakeaacaWG5bGaeyypa0ZaaSaaaeaacaWGHbGaamiEaiabgUcaRiaadkgaaeaacaWGJbGaamiEaiabgUcaRiaadsgaaaaaaa@3E0B@  för hand eller med DERIVE.)

7. a) Motivera approximationerna

f ′ (a)≈ MathType@MTEF@5@5@+=feaagyart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGabmOzayaafaGaaiikaiaadggacaGGPaGaeyisISlaaa@3ACB@ f(a+h)−f(a−h) 2h MathType@MTEF@5@5@+=feaagyart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaaSaaaeaacaWGMbGaaiikaiaadggacqGHRaWkcaWGObGaaiykaiabgkHiTiaadAgacaGGOaGaamyyaiabgkHiTiaadIgacaGGPaaabaGaaGOmaiaadIgaaaaaaa@4286@ ,

f ″ (a)≈ f(a+2h)+f(a−2h)−2f(a) 4 h 2 MathType@MTEF@5@5@+=feaagyart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGabmOzayaagaGaaiikaiaadggacaGGPaGaeyisIS7aaSaaaeaacaWGMbGaaiikaiaadggacqGHRaWkcaaIYaGaamiAaiaacMcacqGHRaWkcaWGMbGaaiikaiaadggacqGHsislcaaIYaGaamiAaiaacMcacqGHsislcaaIYaGaamOzaiaacIcacaWGHbGaaiykaaqaaiaaisdacaWGObWaaWbaaSqabeaacaaIYaaaaaaaaaa@4E9A@

där h är ett litet tal.

b) Sök en motsvarande approximationsformel för tredjederivatan f ‴ (a) MathType@MTEF@5@5@+=feaagyart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGabmOzayaasaGaaiikaiaadggacaGGPaaaaa@3927@ .

Resultat: f ‴ (a)≈ f(a+3h)−f(a−3h)−3f(a+h)+3f(a+h) 8 h 3 MathType@MTEF@5@5@+=feaagyart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGabmOzayaasaGaaiikaiaadggacaGGPaGaeyisIS7aaSaaaeaacaWGMbGaaiikaiaadggacqGHRaWkcaaIZaGaamiAaiaacMcacqGHsislcaWGMbGaaiikaiaadggacqGHsislcaaIZaGaamiAaiaacMcacqGHsislcaaIZaGaamOzaiaacIcacaWGHbGaey4kaSIaamiAaiaacMcacqGHRaWkcaaIZaGaamOzaiaacIcacaWGHbGaey4kaSIaamiAaiaacMcaaeaacaaI4aGaamiAamaaCaaaleqabaGaaG4maaaaaaaaaa@5720@