Grafen till en andragradsfunktion

En andragradsfunktion kan skrivas
\(f(x)=a{{x}^{2}}+bx+c\) där \(a\ne 0\)
\({f}'(x)=2ax+b\)
Grafen till \(y={f}'(x)\) är en rät linje med lutningen \(2a\).

Om \(a>0\) är \(2a>0\). Grafen till \(y={f}'(x)\) är därför en rät linje med positiv lutning. Linjen skär x-axeln i \(x=-\dfrac{b}{2a}\)

derivatans graf

Vi ser att \({f}'(x)>0\) om \(x>-\dfrac{b}{2a}\) och \({f}'(x)<0\) om \(x<-\dfrac{b}{2a}\). Derivatan har alltså teckenväxlingen \(+0-\) i \(x=-\dfrac{b}{2a}\).

\(f(x)=a{{x}^{2}}+bx+c\) har därför en minimipunkt i \(x=-\dfrac{b}{2a}\) om \(a>0\).

 

Om \(a>0\) är \(2a<0\). Grafen till \(y={f}'(x)\) är därför en rät linje med negativ lutning. Linjen skär x-axeln i \(x=-\dfrac{b}{2a}\) .

lilne

Vi ser att \({f}'(x)<0\) om \(x>-\dfrac{b}{2a}\) och \({f}'(x)>0\) om \(x<-\dfrac{b}{2a}\). Derivatan har alltså teckenväxlingen \(-0+\) i \(x=-\dfrac{b}{2a}\).

\(f(x)=a{{x}^{2}}+bx+c\) har därför en maximipunkt i \(x=-\dfrac{b}{2a}\) om \(a>0\).