Logaritmer
10-logaritmer
Om b > 0, finns exakt en lösning till ekvationen \({{10}^{x}= b}\) .
x kallas 10-logaritmen för b.
10-logaritmen för b skrivs lg b.
 |
 |
Vi har alltså att \({{10}^{x}}=b\Leftrightarrow x=\lg b\)
Detta innebär att
\({{10}^{\lg b}}=b\) för alla x > 0
och
\(\lg {{10}^{x}}=x\) för alla x.
Exempel
Vi har att 100 = \({{10}^{2}}\).
Detta innebär att 10-logaritmen för 100 är 2 eller lg 100 = 2
Exempel
Vad är lg 0,01?
Vi har att lg 0,01 = x \(\Leftrightarrow {{10}^{x}}=0,01 \)
Problemet blir alltså att skriva 0,01 som \(${{10}^{x}} \) för något värde på x. Men \({{10}^{-2}}=0,01 \). Alltså är lg 0,01 = -2.
Exempel
Bestäm \(\lg \sqrt{10} \).
Vi har att \(\sqrt{10}={{10}^{\frac{1}{2}}} \).
Alltså är \(\lg \sqrt{10} \) = \(\lg {{10}^{\frac{1}{2}}}=\frac{1}{2} \)
1:ta logaritmlagen \(\lg xy=\lg x+\lg y \), x > 0, y > 0
Vi utgår ifrån denna potenslag, \({{10}^{u}}\cdot {{10}^{v}}={{10}^{u+v}} \) för alla u och v.
Vi undersöker \(\lg xy \)
Vi skriver \(x={{10}^{\lg x}} \) och \(y={{10}^{\lg y}} \).
Vi får då \(\lg xy=\lg {{10}^{\lg x}}{{10}^{\lg y}}=\lg {{10}^{\lg x+\lg y}}=\lg x+\lg y \)
Vi har bevisat första logaritmlagen.
\(\lg xy=\lg x+\lg y \), x > 0, y > 0
2:ra logaritmlagen \(\lg \frac{x}{y}=\lg x-\lg y \), x > 0, y > 0
Vi utgår från denna potenslag \(\frac{{{10}^{x}}}{{{10}^{y}}}={{10}^{x-y}} \)
Vi skriver \(x={{10}^{\lg x}}\) och \(y={{10}^{\lg y}}\).
Vi får då \(\lg \frac{x}{y}=\lg \frac{{{10}^{\lg x}}}{{{10}^{\lg y}}}=\lg {{10}^{\lg x-\lg y}}=\lg x-\lg y\).
Vi har bevisat andra logaritmlagen
\(\lg \frac{x}{y}=\lg x-\lg y\), x > 0, y > 0
3:je logaritmlagen \(\lg {{x}^{y}}=y\lg x\), x > 0, alla y
Vi utgår från denna potenslag \({{\left( {{10}^{a}} \right)}^{b}}={{10}^{ab}}\)
Vi skriver \(x={{10}^{\lg x}}\).
\(\lg {{x}^{y}}=\lg {{\left( {{10}^{\lg x}} \right)}^{y}}=\lg {{10}^{y\lg x}}=y\lg x\)
Vi har därmed bevisat 3:je logaritmlagen
\(\lg {{x}^{y}}=y\lg x\), x > 0, alla y
a-logaritmer
Låt \(a>0\) och \(a\ne 1\). \(y>0\).
Definition
\({}^{a}\log \,y\) (a-logaritmen för y) är den unika lösningen till ekvationen \(y={{a}^{x}}\)
Konsekvenser av denna definition är
1. \({}^{a}\log \,y=x\Leftrightarrow {{a}^{x}}=y\)
2. \({{a}^{{}^{a}\log \,y}}=y\) för alla y > 0, ty \({}^{a}\log \,y\) är lösningen till ekvationen \(y={{a}^{x}}\).
3. \({}^{a}\log \,{{a}^{x}}=x\) för alla x, ty \({{a}^{x}}={{a}^{x}}\) för alla x.
Man kan på motsvarande stt som ovan bevisa logaritmlagarna
\({}^{a}\log xy={}^{a}\log x+{}^{a}\log y\), x > 0, y > 0
\({}^{a}\log \frac{x}{y}={}^{a}\log x-{}^{a}\log y\), x > 0, y > 0
\(^{a}\log {{x}^{y}}=y {}^{a}\log x\), x > 0, alla y