Pythagoreiska taltrippler och Gaussiska heltal
De positiva heltalen a, b och c utgör en en pythagoreisk taltrippel om a2 + b2 = c2. Vi säger också att (a, b, c) är en pythagoreisk taltrippel.
Mot varje pythagoreisk taltrippel svarar en rätvinklig triangel med sidlängder som är heltal. Sådana trianglar kallas pythagoreiska trianglar.
1. Exempel på pythagoreiska taltrippler
Den kanske mest kända pythagoreiska taltrippeln utgörs av talen 3, 4 och 5. Man övertygar sig lätt om att 32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 52.
En annan pythagoreiska taltrippel utgörs av talen 9483, 53044 och 53885.
2. Gaussiska heltal
Det finns, som vi skall se nedan, oändligt många pythagoreiska taltrippler. Vi skall använda oss av komplexa tal. Komplexa tal, x + iy, där x och y är hela tal kallas Gaussiska heltal.
3. Faktorisering av a2 + b2
a2 + b2 = (a + ib) (a - ib).
4. Att bilda pythagoreiska taltrippler
Vi skall försöka att hitta positiva heltal a och b sådana att a2 + b2 är kvadraten på ett heltal.
Om a + ib är en kvadrat av ett Gaussiskt heltal, m + in, så måste a - ib vara kvadraten av m - in. Vi kan då förvänta oss att produkten av a + ib och a - ib, a2 + b2, är kvadraten på ett heltal.
Vi sätter igång och räknar.
a2 + b2 = (a + ib) (a - ib) = (m + in)2(m - in)2 = ((m + in)( m - in))2 = (m2 + n2)2.
Vi kan alltså bilda pythagoreiska taltrippler på detta sätt
1. Låt m och n vara positiva heltal sådana att m > n.
2. Bilda (m + in)2 = m2 - n2 + i2mn
3. Sätt a = m2 - n2 , b = 2mn och c = m2 + n2
Då är (a, b, c) en pythagoreisk taltrippel.
Vi kan även formulera detta så här.
Sats 1: Om a och b är positiva heltal sådana att √(a + ib) är ett gaussiskt heltal så är a och b längderna av kateterna i en rätvinklig triangel med sidor vars längder är hela tal.
5. Finns det fler pythagoreiska taltrippler?
Finns det fler pythagoreiska taltrippler än de som vi kan få genom att göra som 4. ovan? Vi undersöker några pythagoreiska taltrippler a) (3, 4, 5), b) (9483, 53044, 53885) och c) (9, 12, 15)
a) Vi ser att (3 + 4i) = (2 + i)2 varför (3, 4, 5) är av ovanstående typ.
b) Ett bekvämt sätt att undersöka (9483, 53044, 53885) är att beräkna √(9483 + 53044i) man finner att √(9483 + 53044i) = 178 + 149i. Denna beräkning kan enkelt göras med en tillräckligt bra räknare exempelvis Texas TI 84.
Man även använda Wolfram Alpha. Skriv sqrt(9483 + 53044i).
Även (9483, 53044, 53885) är av den typ som behandlades i 4 ovan.
c) Det är lätt att övertyga sig om att 15 inte är en summa av kvadrater av heltal. Man ser även att √(9 + 12i) = √3(2 + i) varför 9 + 12 i är inte kvadraten av ett Gaussiskt heltal och alltså inte av den typ som behandlades i 4 ovan.
Svaret på rubrikens fråga är alltså: Ja.
6. Vilka pythagoreiska taltrippler finns?
Om (a, b, c) är en pythagoreisk taltrippel och k är ett positivt heltal så är naturligtvis (ka, kb, kc) också en pythagoreisk taltrippel.
Om (a, b, c) är en pythagoreisk taltrippel och om a, b och c har en gemensam heltalsfaktor, k så är (a/k, b/k, c/k) också en pythagoreisk taltrippel.
Om (a, b, c) är en pythagoreisk taltrippel och om a, b och c inte har någon gemensam heltalsfaktor, som är större än 1, kallas (a, b, c) en primitiv pythagoreisk taltrippel.
Vi skall nu se hur man kan bilda primitiva pythagoreiska taltrippler.
Påstående: I en primitiv pythagoreisk taltrippel (a, b, c) måste a vara udda och b jämnt eller tvärt om. Dessutom måste c vara udda.
Bevis: Om a och b båda är jämna så måste a2 och b2 båda vara jämna. Då måste c2 =a2+ b2 vara jämnt, varför även c måste var jämnt. Detta strider emot att a, b och c saknar gemensam heltalsfaktor större än 1.
Om a och b båda är udda kan vi skriva a = 2l+1 och b = 2m+1. Då blir c2 = a2+ b2 = c2 = (2l+1)2+(2m+1)2 = 4(l2 + m2 +l + m) + 2, som är ett jämnt tal, som inte är delbart med 4. Men om c2 är jämnt måste c vara jämnt, vilket medför att c är jämnt. Men då måste c2 vara delbart med 4.
Nu återstår endast möjligheten att a är udda och b jämnt eller tvärt om. Eftersom c2 är summan av ett jämnt och ett udda tal är c2 udda. Då är även c udda. Påståendet är därmed bevisat.
Sats 2: (a, b, c) är en primitiv pythagoreisk taltrippel, där a är udda och b är jämnt. Då är √(a + ib) ett gaussiskt heltal.
Bevis: Eftersom a och b är positiva reella tal så har ekvationen z2 = a + ib en lösning m + in där m och n är positiva reella tal. Ekvationens andra lösning är -(m + in).
Vi skall visa att m och n är hela tal. Vi sätter √(a + ib) = m + in. Detta ger a + ib = m2 - n2 + i2mn. Vi får nu
c2 = a2 + b2 = (m2 - n2)2 + (2mn)2 = (m2 + n2)2
c = m2 + n2
a = m2 - n2
Detta ger
m2 = (c + a)/2 och n2 = (c - a)/2. Eftersom c och a båda är udda är (c + a)/2 och (c - a)/2 båda heltal.
För att fullborda beviset räcker det att visa att visa att (c + a)/2 och (c - a)/2 är kvadrater på heltal.
a2 + b2 = c2 ger (c-a)(c + a) = b2. Vi får
(c + a)/2 (c - a)/2 = (b/2)2. Eftersom b är ett jämnt heltal är produkten av heltalen (c + a)/2 och (c - a)/2 kvadraten av ett heltal.
Följande gäller.
Om två heltal saknar gemensam faktor större än 1 och deras produkt är kvadraten av ett heltal då är båda talen kvadraten av ett heltal.
Det räcker nu att visa att (c + a)/2 och (c - a)/2 saknar gemensam faktor. Om de skulle ha en sådan skulle deras summa c och deras skillnad a ha samma gemensamma faktor. Men c och a saknar ju gemensam faktor större än 1 eftersom (a, b, c) är en primitiv pythagoreisk taltrippel.
Sats 2 är nu bevisad.